Version: Estonian

Teine päev

Mar del Plata, Argentiina - 25. juuli 1997

4. Nimetame n × n maatriksit (ruudukujulist arvutabelit), mille elemendid kuuluvad hulka S = {1, 2, …, 2n−1}, hõbedaseks maatriksiks, kui iga i = 1, …, n korral sisaldavad selle i-s rida ja i-s veerg kokku kõik hulga S elemendid. Tõesta, et

(a) n = 1997 korral ei leidu ühtki hõbedast maatriksit;

(b) hõbedased maatriksid leiduvad lõpmata paljude n väärtuste korral.

5. Leia kõik täisarvupaarid (a, b), kus a ≥ 1, b ≥ 1, mis rahuldavad võrrandit

a^{b^{2}} = b^{a} .

6. Tähistagu f(n) erinevate võimaluste arvu positiivse täisarvu n esitamiseks arvu 2 mittenegatiivsete täisarvuliste astendajatega astmete summana.

Esitusi, mis erinevad üksteisest ainult liidetavate järjekorra poolest, me seejuures ei erista. Näiteks f(4) = 4, sest arvu 4 saab esitada järgmisel neljal viisil: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Tõesta, et iga täisarvu n ≥ 3 korral

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2} .

Iga ülesande lahendus on väärt 7 punkti. Aega: 4\frac{1}{2} tundi.