Version: Finnish

Ensimmäinen päivä

Mar del Plata, Argentiina – 24. heinäkuuta 1997

1. Tason kokonaislukukoordinaattiset pisteet ovat yksikköneliöiden kärkiä. Neliöt on väritetty vuorotellen mustiksi ja valkeiksi (šakkilaudan tapaan). Olkoot m ja n positiivisia kokonaislukuja. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jonka kärkien koordinaatit ovat kokonaislukuja, jonka kateettien pituudet ovat m ja n ja jonka kateetit sijaitsevat neliöiden sivuilla. Olkoon S_{1} kolmion mustan osan ala ja S_{2} kolmion valkean osan ala. Olkoon

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Laske f(m, n) kaikille positiivisille kokonaisluvuille m, n, jotka ovat joko molemmat parillisia tai molemmat parittomia.

(b) Todista, että f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max(m, n) kaikilla m ja n.

(c) Osoita, että ei ole olemassa vakiota C, jolle f(m, n) < C kaikilla m ja n.

2. Kulma A on pienin kolmion ABC kulmista. Pisteet B ja C jakavat kolmion ympäri piirretyn ympyrän kahdeksi kaareksi. Olkoon U sisäpiste sillä B:n ja C:n välisellä kaarella, jolla A ei ole. Janan AB keskinormaali leikkaa suoran AU pisteessä V ja janan AC keskinormaali leikkaa suoran AU pisteessä W. Suorat BV ja CW leikkaavat toisensa pisteessä T. Osoita, että

AU = T B + T C.

3. Olkoot x_{1}, x_{2}, …, x_{n} reaalilukuja, jotka toteuttavat ehdot

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

ja

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2}, kun i = 1, 2, …, n.

Osoita, että on olemassa jonon x_{1}, x_{2}, …, x_{n} permutaatio y_{1}, y_{2}, …, y_{n}, jolle pätee

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2}.

Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 7.

Aika: 4 \frac{1}{2} tuntia.