Version: Finnish

Toinen päivä

Mar del Plata, Argentiina – 25. heinäkuuta 1997

4. Kutsumme n×n-neliömatriisia (neliömäistä n:n vaakarivin ja n:n pystyrivin muodostamaa lukutaulukkoa) hopeamatriisiksi, jos sen alkiot kuuluvat joukkoon S = {1, 2, …, 2n − 1} ja jos jokaisella i = 1, 2, …, n matriisin i:nnen vaakarivin ja i:nnen pystyrivin alkioiden yhdiste sisältää S:n kaikki alkiot. Osoita, että

(a) kun n = 1997, hopeamatriiseja ei ole olemassa;

(b) hopeamatriiseja on olemassa äärettömän monella n:n arvolla.

5. Määritä kaikki kokonaislukuparit (a, b), a ≥ 1, b ≥ 1, jotka toteuttavat yhtälön

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Eri tapoja kirjoittaa n luvun 2 sellaisten potenssien summana, joiden eksponentti on ei-negatiivinen kokonaisluku, olkoon f(n) kappaletta. Esityksiä, jotka eroavat toisistaan vain yhteenlaskettavien järjestyksen suhteen, pidetään samoina. Esimerkiksi f(4) = 4, koska 4 voidaan esittää seuraavilla neljällä tavalla: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1. Osoita, että jokaisella kokonaisluvulla n ≥ 3 pätee

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 7.

Aika: 4 \frac{1}{2} tuntia.