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Premier Jour

Mar del Plata, Argentine - 24 Juillet 1997

1. Dans le plan, les points à coordonnées entières sont les sommets de carrés unités. Les carrés sont coloriés alternativement en blanc et en noir (comme sur un échiquier).

Pour tout couple d’entiers strictement positifs m et n, on considère un triangle rectangle dont les sommets sont des points à coordonnées entières et dont les côtés de l’angle droit, de longueurs m et n, suivent les côtés des carrés.

Soit S_{1} l’aire totale de la partie noire du triangle et S_{2} l’aire totale de sa partie blanche. On pose:

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Calculer f(m, n) pour tous les entiers strictement positifs m et n qui sont tous deux pairs ou tous deux impairs.

(b) Montrer que pour tout m et n : f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max(m, n).

(c) Montrer qu’il n’existe pas de constante C telle que, pour tous m et n, f(m, n) < C.

2. L’angle Â est le plus petit dans le triangle ABC.

Les points B et C divisent le cercle circonscrit au triangle en deux arcs. Soit U un point intérieur à l’arc limité par B et C qui ne contient pas A.

Les médiatrices des segments AB et AC rencontrent la droite AU respectivement en V et W. Les droites BV et CW se coupent au point T.

Montrer que:

AU = T B + T C.

3. Soient x_{1}, x_{2}, …, x_{n} des réels vérifiant les conditions suivantes:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

et

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} pour i = 1, 2, …, n.

Montrer qu’il existe une permutation (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) de (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) telle que:

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Chaque problème vaut 7 points. Temps accordé: 4 heures et demie.