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Deuxième Jour

Mar del Plata, Argentine - 25 Juillet 1997

4. Une matrice carrée à n lignes et n colonnes, à éléments dans l’ensemble S = {1, 2, …, 2n−1}, est appelée une matrice d’argent si, pour tout i = 1, …, n , la réunion de la i-ème ligne et de la i-ème colonne contient tous les éléments de S. Montrer que:

(a) il n’existe pas de matrice d’argent pour n = 1997;

(b) il existe des matrices d’argent pour une infinité de valeurs de n.

5. Trouver tous les couples (a, b) d’entiers a ≥ 1, b ≥ 1 vérifiant l’équation:

a^{(b^{2})} = b^{a}.

6. Pour tout entier strictement positif n, f(n) désigne le nombre de façons de représenter n comme une somme de puissances de 2 à exposants entiers positifs ou nuls.

Deux représentations qui ne diffèrent que par l’ordre des termes de la somme sont considérées comme les mêmes. Par exemple f(4) = 4 car le nombre 4 peut être représenté par les quatre façons suivantes: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Montrer que, pour tout entier n ≥ 3:

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Chaque problème vaut 7 points. Temps accordé: 4 heures et demie.