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1. Tag

Mar del Plata, Argentinien - 24. Juli 1997

1. In der Ebene sind die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten die Ecken von Einheitsquadraten. Die Quadrate sind abwechselnd schwarz und weiß gefärbt (wie auf einem Schachbrett).

Zu jedem Paar positiver ganzer Zahlen m und n betrachte man ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Ecken ganzzahlige Koordinaten haben und dessen Katheten, die die Längen m und n haben, auf Quadratseiten liegen.

Es seien S_{1} die Gesamtfläche des schwarzen Teils und S_{2} die Gesamtfläche des weißen Teils dieses Dreiecks. Es sei

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Man berechne f(m, n) für alle positiven ganzen Zahlen m und n, welche entweder beide gerade oder beide ungerade sind !

(b) Man beweise, daß f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} für alle m und n gilt !

(c) Man zeige, daß es keine Konstante C gibt, so daß f(m, n) < C für alle m und n gilt !

2. Es sei < )BAC der kleinste Winkel im Dreieck ABC.

Die Punkte B und C teilen den Umkreis des Dreiecks in zwei Bögen. Es sei U ein innerer Punkt des Bogens zwischen B und C, der nicht A enthält.

Die Mittelsenkrechten von AB und AC schneiden die Gerade AU in den Punkten V bzw. W. Die Geraden BV und CW schneiden sich in T.

Man zeige, daß gilt:

\overline{AU} = \overline{T B} + \overline{T C}

3. Es seien x_{1}, x_{2}, …, x_{n} reelle Zahlen, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

und

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} für i = 1, 2, …, n.

Man zeige, daß eine Permutation y_{1}, y_{2}, …, y_{n} von x_{1}, x_{2}, …, x_{n} existiert, so daß gilt:

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Bei jedem Problem können 7 Punkte erreicht werden. Arbeitszeit: 4\frac{1}{2} Stunden.