Version: German

2. Tag

Mar del Plata, Argentinien - 25. Juli 1997

4. Eine n × n Matrix mit Einträgen aus der Menge S = {1, 2, …, 2n−1} heißt silberne Matrix, falls für jedes i = 1, …, n die i-te Zeile und die i-te Spalte zusammen alle Elemente von S enthalten.

Man zeige:

(a) Es gibt keine silberne Matrix für n = 1997.

(b) Silberne Matrizen gibt es für unendlich viele Werte von n.

5. Man finde alle Paare (a, b) ganzer Zahlen mit a ≥ 1, b ≥ 1, die die Gleichung

a^{b^{2}} = b^{a}

erfüllen !

6. Für jede positive ganze Zahl n bezeichne f(n) die Anzahl der Möglichkeiten, n als Summe von Potenzen von 2 mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten darzustellen.

Darstellungen, welche sich nur in der Reihenfolge der Summanden unterscheiden, werden als gleich betrachtet. Zum Beispiel ist f(4) = 4, da sich die Zahl 4 auf die folgenden vier Arten darstellen läßt: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Man beweise, daß für jede ganze Zahl n ≥ 3 gilt:

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}

Bei jedem Problem können 7 Punkte erreicht werden. Arbeitszeit: 4\frac{1}{2} Stunden.