Version: Hungarian

Első nap

Mar del Plata, Argentína - 1997. július 24.

1. A sík egész koordinátájú pontjai egységnégyzetek csúcsai. Ezeket a négyzeteket váltakozva fehérre és feketére színezzük (mint egy sakktáblán).

Pozitív egészek tetszőleges m, n párja esetén tekintsünk egy olyan derékszögű háromszöget, melynek csúcsai egész koordinátájúak és amelynek befogói, melyek hossza m és n a négyzetek éleire illeszkednek.

Legyen S_{1} a háromszög fekete színű részének az összterülete, S_{2} pedig a fehér színű rész összterülete. Legyen

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Számítsuk ki f(m, n)-et minden olyan m és n pozitív egész esetén, amelyek vagy mindketten párosak, vagy mindketten páratlanok.

(b) Bizonyítsuk be, hogy f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max(m, n) minden m és n-re.

(c) Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan C konstans, hogy f(m, n) < C minden m és n-re.

2. Az ABC háromszögben az A-nál lévő szög a legkisebb.

A háromszög körülírt körét a B, C pontok két ívre bontják. Legyen U egy belső pontja a B és C közötti azon ívnek, amelyik nem tartalmazza A-t.

AB és AC felező merőlegese az AU egyenest a V, ill. W pontban metszi. A BV és CW egyenesek metszéspontja T.

Bizonyítsuk be, hogy

\overline{AU} = \overline{T B} + \overline{T C}.

3. Legyenek x_{1}, x_{2}, …, x_{n} olyan valós számok, amelyek kielégítik az

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

és az

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} , ha i = 1, 2, …, n

feltételeket. Bizonyítsuk be, hogy van olyan y_{1}, y_{2}, …, y_{n} permutációja x_{1}, x_{2}, …, x_{n} -nek, amire

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Minden feladat helyes megoldása 7 pontot ér. Munkaidő: 4\frac{1}{2} óra.