Version: Hungarian

Második nap

Mar del Plata, Argentína - 1997. július 25.

4. Egy n×n -es mátrixot (négyzetes táblázatot), amelynek elemei az S = {1, 2, …, 2n−1} halmazból valók, ezüst mátrixnak nevezünk, ha minden i = 1, …, n esetén az i -ik sor és az i -ik oszlop együtt tartalmazza S valamennyi elemét. Bizonyítsuk be, hogy

(a) nem létezik ezüst mátrix n = 1997 esetén;

(b) végtelen sok olyan n van, amire létezik ezüst mátrix.

5. Határozzuk meg az összes olyan, egészekből álló (a, b) párt, ahol a ≥ 1, b ≥ 1, amelyek kielégítik az

a^{b^{2}} = b^{a}

egyenletet.

6. Minden pozitív egész n esetén jelölje f(n) azt, hogy n hányféleképpen állítható elő nemnegatív egész kitevős 2-hatványok összegeként.

Azokat az előállításokat, amelyek csak az összeadandók sorrendjében különböznek, azonosnak tekintjük. Például f(4) = 4, mert a 4 számot a következő négyféle módon állíthatjuk elő: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Bizonyítsuk be, hogy minden n ≥ 3 egész számra

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Minden feladat helyes megoldása 7 pontot ér. Munkaidő: 4\frac{1}{2} óra.