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Primo Giorno

Mar del Plata, Argentina - 24 luglio 1997

1. Nel piano i punti a coordinate intere sono i vertici di quadrati unitari. I quadrati sono colorati alternativamente in bianco e nero (come su una scacchiera).

Per ogni coppia di interi positivi m e n, si consideri un triangolo rettangolo i cui vertici sono punti a coordinate intere e i cui cateti, di lunghezza m e n, giacciono lungo i lati dei quadrati unitari.

Sia S_{1} l’area totale della parte nera del triangolo e sia S_{2} l’area totale della sua parte bianca. Sia

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Calcolare f(m, n) per tutti gli interi positivi m e n che sono entrambi pari o entrambi dispari.

(b) Dimostrare che per ogni m e n si ha f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\}.

(c) Dimostrare che non esiste nessuna costante C tale che f(m, n) < C per ogni m e n.

2. L’angolo B̂AC è il piú piccolo fra gli angoli del triangolo ABC.

I punti B e C dividono la circonferenza circoscritta al triangolo in due archi. Sia U un punto interno all’arco compreso fra B e C che non contiene A.

Gli assi dei segmenti AB e AC intersecano la retta AU rispettivamente in V e W. Le rette BV e CW si intersecano in T.

Dimostrare che

AU = T B + T C.

3. Siano x_{1}, x_{2}, …, x_{n} numeri reali che soddisfano le condizioni seguenti:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

e

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} per i = 1, 2, …, n.

Dimostrare che esiste una permutazione y_{1}, y_{2}, …, y_{n} di x_{1}, x_{2}, …, x_{n} tale che

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Ogni problema vale 7 punti. Tempo: 4 ore e 30 minuti.