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Secondo Giorno

Mar del Plata, Argentina - 25 luglio 1997

4. Una matrice (tabella) quadrata con n righe e n colonne, con elementi nell’insieme S = {1, 2, …, 2n−1}, viene chiamata una matrice d’argento se, per ogni i = 1, …, n , l’unione della i-esima riga e della i-esima colonna contiene tutti gli elementi di S. Dimostrare che

(a) non esiste nessuna matrice d’argento per n = 1997;

(b) esistono matrici d’argento per infiniti valori di n.

5. Determinare tutte le coppie (a, b) di interi a ≥ 1, b ≥ 1 che soddisfano l’equazione

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Per ogni intero positivo n, sia f(n) il numero di modi di rappresentare n come una somma di potenze di 2 con esponenti interi non negativi.

Due rappresentazioni che differiscono solo per l’ordine degli addendi sono considerate uguali. Per esempio f(4) = 4, poiché il numero 4 può essere rappresentato nei quattro modi seguenti: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Dimostrare che, per ogni intero n ≥ 3,

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

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