Version: Latvian

Pirmā diena

Mar del Plata, Argentina - July 24, 1997

1. Plakne sadalīta kvadrātos, kuru virsotnes ir punkti ar veselām koordinātēm. Kvadrāti nokrāsoti melnā un baltā krāsā kā šaha galdiņš.

Jebkuram veselu pozitīvu skaitļu pārim m un n aplūkosim taisnleņķa trijstūri, kura virsotņu koordinātes ir veseli skaitļi, un katetes ar garumiem m un n iet pa rūtiņu līnijām.

Apzīmēsim ar S_{1} trijstūra melno daļu kopīgo laukumu un ar S_{2} trijstūra balto daļu kopīgo laukumu. Apzīmēsim

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Aprēķiniet f(m, n) visiem pozitīviem veseliem skaitļiem m un n, ja tie abi ir pāra skaitļi vai tie abi ir nepāra skaitļi.

(b) Pierādiet, ka f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} visiem m un n.

(c) Pierādiet, ka neeksistē tāds skaitlis C, ka f(m, n) < C visiem m un n.

2. Leņķis A ir mazākais no trijstūra ABC leņķiem.

Punkti B un C sadala ap trijstūri apvilkto riņķa līniju divos lokos. Apzīmēsim ar U iekšējo punktu uz tā loka starp B un C, kurš nesatur punktu A.

Nogriežņu AB un AC vidusperpendikuli krusto taisni AU punktos V un W atbilstoši. Taisnes BV un CW krustojas punktā T.

Pierādiet, ka

AU = T B + T C.

3. Doti reāli skaitļi x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, kuriem izpildās nosacījumi:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

un

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} visiem i = 1, 2, …, n.

Pierādiet, ka eksistē skaitļu x_{1}, x_{2}, …, x_{n} permutācija y_{1}, y_{2}, …, y_{n}, kurai

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Katru problēmu vērtē ar 7 punktiem. Laiks: 4\frac{1}{2} stundas.