Version: Latvian

Otrā diena

Mar del Plata, Argentina - July 25, 1997

4. Skaitļu tabulu n×n kuras elementi pieder kopai S = {1, 2, …, 2n−1} sauc par sudraba matricu, ja visiem i = 1, …, n , i-tā rindiņa un i-tā kolona kopā satur visus kopas S elementus. Pierādiet, ka

(a) neeksistē sudraba matrica, ja n = 1997;

(b) sudraba matricas eksistē bezgalīgi daudzām n vērtībām.

5. Atrodiet visus veselu skaitļu pārus (a, b), a ≥ 1, b ≥ 1, kuriem izpidās vienādība

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Jebkuram veselam pozitīvam skaitlim n apzīmēsim ar f(n) skaitu, cik veidos var skaitli n izteikt kā skaitļa 2 pakāpju summu ar nenegatīviem veseliem kāpinātājiem.

Summas, kuras atšķiras tikai ar saskaitāmo secību tiek uzskatītas par vienādām. Piemēram, f(4) = 4, jo skaitli 4 var izteikt šādos četros veidos: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Pierādiet, ka jebkuram veselam n ≥ 3,

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Katru uzdevumu vērtē ar 7 punktiem. Laiks: 4\frac{1}{2} stundas.