Version: Polish

Pierwszy dzień

Mar del Plata, Argentyna - 24 lipca 1997 r.

1. Na płaszczyźnie punkty o współrzȩdnych całkowitych sa̧ wierzchołkami kwadratów jednostkowych. Kwadraty te pomalowano na przemian na czarno i biało (tak, jak na szachownicy).

Dla każdej pary liczb całkowitych dodatnich m i n rozważamy trójka̧t prostoka̧tny, którego wierzchołki maja̧ współrzȩdne całkowite, a przyprostoka̧tne długości m i n leża̧ na liniach wyznaczonych przez boki kwadratów.

Niech S_{1} bȩdzie polem czarnej czȩści trójka̧ta, a S_{2} – polem czȩści białej. Niech

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Obliczyć f(m, n) dla wszystkich liczb całkowitych m i n, które sa̧ albo obie parzyste, albo obie nieparzyste.

(b) Udowodnić, że f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} dla wszystkich m i n.

(c) Wykazać, że nie istnieje taka stała C, że f(m, n) < C dla wszystkich m i n.

2. Ka̧t A jest najmniejszym ka̧tem trójka̧ta ABC.

Punkty B i C dziela̧ okra̧g opisany na trójka̧cie na dwa łuki. Niech U bȩdzie punktem wewnȩtrznym tego łuku o końcach B i C, który nie zawiera punktu A.

Symetralne odcinków AB i AC przecinaja̧ prosta̧ AU odpowiednio w punktach V i W. Proste BV i CW przecinaja̧ siȩ w punkcie T.

Udowodnić, że

AU = T B + T C.

3. Niech x_{1}, x_{2}, …, x_{n} bȩda̧ liczbami rzeczywistymi spełniaja̧cymi warunki:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

oraz

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} dla i = 1, 2, …, n.

Dowieść, że istnieje taka permutacja y_{1}, y_{2}, …, y_{n} liczb x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, dla której

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Za rozwia̧zanie każdego zadania można otrzymać 7 punktów. Czas pracy: 4\frac{1}{2} godziny.