Version: Polish

Drugi dzień

Mar del Plata, Argentyna - 25 lipca 1997 r.

4. Macierz n × n (tablicȩ kwadratowa̧) o wyrazach ze zbioru S = {1, 2, …, 2n−1} bȩdziemy nazywać macierza̧ srebrzysta̧, jeżeli dla każdego i = 1, …, n , wiersz i-ty oraz i-ta kolumna zawieraja̧ ła̧cznie wszystkie elementy zbioru S. Dowieść, że

(a) nie istnieje macierz srebrzysta dla n = 1997;

(b) istnieja̧ macierze srebrzyste dla nieskończenie wielu wartości n.

5. Wyznaczyć wszystkie pary (a, b) liczb całkowitych a ≥ 1, b ≥ 1, które spełniaja̧ równanie

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n, niech f(n) oznacza liczbȩ sposobów przedstawienia n w postaci sumy potȩg liczby 2 o wykładnikach całkowitych nieujemnych.

Nie rozróżniamy takich przedstawień, które różnia̧ siȩ jedynie porza̧dkiem składników. Na przykład f(4) = 4, gdyż liczbȩ 4 można przedstawić na cztery sposoby: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Udowodnić, że

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}

dla każdej liczby całkowitej n ≥ 3.

Za rozwia̧zanie każdego zadania można otrzymać 7 punktów. Czas pracy: 4\frac{1}{2} godziny.