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Primeiro dia

Mar del Plata, Argentina - 24 de julho de 1997

1. No plano, os pontos de coordenadas inteiras são vértices de quadrados unitários. Os quadrados são coloridos alternadamente de branco e preto (como os do tabuleiro de xadrez).

Para cada par de inteiros positivos m e n, considera-se um triângulo rectângulo cujos vértices têm coordenadas inteiras e cujos catetos, de medidas m e n, estão sobre os lados dos quadrados.

Sejam S_{1} a área total da região preta do triângulo e S_{2} a área total de sua região branca. Seja

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Calcule f(m, n) para todos os inteiros positivos m e n que são ou ambos pares ou ambos ímpares.

(b) Prove que f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} para todo m e n.

(c) Demonstre que não existe nenhuma constante C tal que f(m, n) < C para todo m e n.

2. O ângulo A é o menor dos ângulos do triângulo ABC.

Os pontos B e C dividem a circunferência circunscrita ao triângulo em dois arcos. Seja U um ponto interior ao arco BC que não contém A.

As mediatrizes de AB e AC cortam a recta AU em V e W, respectivamente. As rectas BV e CW cortam-se em T.

Demonstre que

AU = T B + T C.

3. Sejam x_{1}, x_{2}, …, x_{n} números reais que verificam as condições:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

e

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} para i = 1, 2, …, n.

Demonstre que existe uma reordenação (permutação) y_{1}, y_{2}, …, y_{n} de x_{1}, x_{2}, …, x_{n} tal que

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Cada problema vale 7 pontos. Tempo: 4\frac{1}{2} horas.