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Segundo dia

Mar del Plata, Argentina - 25 de julho de 1997

4. Uma matriz n×n (isto é, um tabuleiro quadrado de n linhas e n colunas) é preenchida com números do conjunto S = {1, 2, …, 2n−1}. Tal tabuleiro chama-se matriz de plata se, para cada i = 1, …, n , a i-ésima linha e a i-ésima coluna juntas contêm todos os números do conjunto S. Demonstre que:

(a) Não existe nenhuma matriz de plata para n = 1997;

(b) Existem matrizes de plata para infinitos valores de n.

5. Determine todos os pares (a, b) de inteiros a ≥ 1 e b ≥ 1 que satisfazem a equação

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Para cada inteiro positivo n, seja f(n) o número de formas em que se pode representar n como soma de potências de 2 com expoentes inteiros não negativos.

As representações que diferem unicamente na ordem das suas parcelas consideramse iguais. Por exemplo f(4) = 4, porque 4 pode ser representado nas quatro formas seguintes: 4, 2 + 2, 2 + 1 + 1 e 1 + 1 + 1 + 1.

Prove que, para todo inteiro n ≥ 3,

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Cada problema vale 7 pontos. Tempo: 4\frac{1}{2} horas.