Version: Romanian

Prima zi

Mar del Plata, Argentina - 24 iulie 1997

1. Se consideră într-un plan de coordonate pătratele unitate cu vârfurile în punctele de coordonate întregi. Aceste pătrate sunt colorate alternativ în negru şi alb (ca la o tablă de şah).

Pentru orice pereche de numere întregi pozitive m şi n se consideră un triunghi dreptunghic cu vârfurile în puncte de coordonate întregi, ale cărui catete sunt de lungimi m şi n şi se suprapun peste laturile pătratelor.

Fie S_{1} aria totală a părţii negre din triunghi şi S_{2} aria totală a părţii albe. Fie

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Să se calculeze f(m, n) pentru toate numerele întregi pozitive m şi n, care sunt sau ambele pare sau ambele impare.

(b) Să se arate că f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\}, oricare ar fi m şi n.

(c) Să se arate că nu există o constantă C astfel încât să avem: f(m, n) < C, oricare ar fi m şi n.

2. Unghiul A este cel mai mic unghi din triunghiul ABC.

Punctele B şi C împart cercul circumscris triunghiului în două arce. Fie U un punct interior arcului dintre punctele B şi C care nu conţine pe A.

Mediatoarele segmentelor AB şi AC intersectează dreapta AU în V şi W, respectiv. Dreptele BV şi CW se intersectează în T.

Să se arate că

AU = T B + T C.

3. Fie x_{1}, x_{2}, …, x_{n} numere reale, care satisfac condiţiile:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

şi

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2}, oricare ar fi i = 1, 2, …, n.

Să se arate că există o permutare y_{1}, y_{2}, …, y_{n} a numerelor x_{1}, x_{2}, …, x_{n} astfel încât

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. Timp de lucru: 4\frac{1}{2} ore.