Version: Romanian

Ziua a doua

Mar del Plata, Argentina - 25 iulie 1997

4. O matrice pătratică de dimensiuni n×n cu elemente din mulţimea S = {1, 2, …, 2n−1} se numeşte matrice de argint, dacă pentru orice i = 1, …, n , reuniunea elementelor de pe linia i şi coloana i conţine toate elementele lui S. Să se arate că:

(a) nu există nici o matrice de argint pentru n = 1997;

(b) există matrice de argint pentru o infinitate de valori ale lui n.

5. Să se determine toate perechile (a, b) de numere întregi a ≥ 1, b ≥ 1, care satisfac ecuaţia

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Pentru orice număr întreg pozitiv n se notează cu f(n) numărul reprezentărilor lui n ca o sumă de puteri ale lui 2 cu exponenţi întregi nenegativi.

Reprezentările care diferă numai prin ordinea termenilor sumei sunt considerate a fi identice. De exemplu, f(4) = 4 deoarece numărul 4 poate fi reprezentat în următoarele patru moduri: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Să se arate că pentru orice număr întreg n ≥ 3 au loc inegalităţile:

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Fiecare problemă se notează cu 7 puncte. Timp de lucru: 4\frac{1}{2} ore.