Version: Serbian

Prvi dan

Mar del Plata, Argentina – 24. jul, 1997.

1. Tačke sa celim koordinatama u ravni su temena jediničnih kvadrata. Kvadrati su naizmenično obojeni crno i belo (kao na šahovskoj tabli).

Za svaki par pozitivnih celih brojeva m i n, razmatramo pravougli trougao čija temena imaju cele koordinate i čije katete, dužine m i n, leže na stranicama kvadrata.

Neka je S_{1} ukupna površina crnog dela trougla i S_{2} ukupna površina njegovog belog dela. Neka je

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Izračunati f(m, n) za sve pozitivne cele brojeve m i n koji su ili oba parni ili oba neparni.

(b) Dokazati da je f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} za sve m i n.

(c) Dokazati da ne postoji konstanta C takva da je f(m, n) < C za sve m i n.

2. Ugao A je najmanji u trouglu ABC.

Tačke B i C dele opisanu kružnicu trougla na dva luka. Neka je U unutrašnja tačka luka izmedju B i C koji ne sadrži A.

Simetrale duži AB i AC seku pravu AU redom u tačkama V i W. Prave BV i CW seku se u T.

Dokazati da je

AU = T B + T C.

3. Neka su x_{1}, x_{2}, …, x_{n} realni brojevi koji zadovoljavaju uslove:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

i

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} za i = 1, 2, …, n.

Dokazati da postoji permutacija y_{1}, y_{2}, …, y_{n} brojeva x_{1}, x_{2}, …, x_{n} takva da je

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Svaki zadatak vredi 7 poena. Vreme za rad: 4\frac{1}{2} časova.