Version: Serbian

Drugi dan

Mar del Plata, Argentina – 25. jul, 1997.

4. Matrica n × n (kvadratna tablica) čiji su članovi elementi skupa S = {1, 2, …, 2n−1} naziva se srebrna matrica ako, za svako i = 1, …, n , i-ta vrsta i i-ta kolona zajedno sadrže sve elemente iz S. Dokazati da:

(a) ne postoji srebrna matrica za n = 1997;

(b) srebrne matrice postoje za beskonačno mnogo vrednosti n.

5. Naći sve parove (a, b) celih brojeva a ≥ 1, b ≥ 1 koji zadovoljavaju jednačinu

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Za svaki pozitivan ceo broj n, neka f(n) označava broj predstavljanja broja n u obliku zbira stepena broja 2 sa nenegativnim celim eksponentima.

Reprezentacije koje se razlikuju samo u redosledu njihovih sabiraka smatraju se istim. Na primer, f(4) = 4, jer broj 4 može biti predstavljen na sledeća četiri načina: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Dokazati da za svaki ceo broj n ≥ 3, važi

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Svaki zadatak vredi 7 poena. Vreme za rad: 4\frac{1}{2} časova.