Version: Slovak

Prvý deň

Mar del Plata, Argentina - 24. júla 1997

1. Body roviny s celočíselnými súradnicami sú vrcholmi jednotkových štvorcov. Tieto štvorce sú zafarbené striedavo čiernou a bielou farbou (ako na šachovnici).

Pre ľubovolnú dvojicu kladných celých čísel m a n uvažujme pravouhlý trojuholník, ktorého vrcholy majú celočíselné súradnice a ktorého odvesny dl’žok m a n ležia pozdl’ž strán štvorcov.

Nech S_{1} je celkový obsah čiernej časti trojuholníka a S_{2} celkový obsah jeho bielej časti. Označme

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}| .

(a) Vypočítajte f(m, n) pre všetky kladné celé čísla m a n, ktoré sú obe párne alebo obe nepárne.

(b) Dokážte, že f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} pre všetky m a n.

(c) Ukážte, že neexistuje žiadna konštanta C taká, že f(m, n) < C pre všetky m a n.

2. Trojuholník ABC má najmenší uhol pri vrchole A. Body B a C rozdelia kružnicu trojuholníku opísanú na dva oblúky. Nech U je vnútorný bod oblúka medzi bodmi B a C, ktorý neobsahuje bod A.

Osi úsečiek AB a AC pretínajú priamku AU po rade v bodoch V a W. Priamky BV a CW sa pretínajú v bode T.

Dokážte, že

|AU| = |T B| + |T C|.

3. Nech x_{1}, x_{2}, …, x_{n} sú reálne čísla splňujúce podmienky:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

a

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} pre i = 1, 2, …, n.

Dokážte, že existuje poradie y_{1}, y_{2}, …, y_{n} čísel x_{1}, x_{2}, …, x_{n} také, že

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Každá úloha je hodnotená 7 bodmi. Čas: 4\frac{1}{2} hodiny.