Version: Slovak

Druhý deň

Mar del Plata, Argentina - 25. júla 1997

4. Matica n × n (štvorcová tabulka o n riadkoch a n stĺpcoch), ktorej všetky prvky sú z množiny S = {1, 2, …, 2n−1}, sa volá strieborná matica, ak pre každé i = 1, …, n jej i-ty riadok a i-ty stl’pec obsahujú dohromady všetky prvky S. Dokážte, že

(a) neexistuje žiadna strieborná matica pre n = 1997;

(b) strieborné matice existujú pre nekonečne veľa hodnôt n.

5. Nájdite všetky dvojice (a, b) celých čísel a ≥ 1, b ≥ 1, ktoré splňujú rovnicu

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Pre každé kladné celé číslo n označme f(n) počet spôsobov vyjadrenia čísla n v tvare súčtu mocnín čísla 2 s nezápornými celými exponentami.

Vyjadrenia, ktoré sa líšia iba poradím sčítancov, považujeme za rovnaké. Napríklad f(4) = 4, pretože číslo 4 môžeme vyjadrit’ nasledujúcimi štyrmi spôsobmi: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Dokážte, že pre každé celé číslo n ≥ 3 platí

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Každá úloha je hodnotená 7 bodmi. Čas: 4\frac{1}{2} hodiny.