Version: Slovene

Prvi dan

Mar del Plata, Argentina - 24. julij 1997

1. Naj bodo točke na ravnini, ki imajo celoštevilske koordinate, oglišča enotskih kvadratov. Kvadrate pobarvamo izmenoma belo in črno (kot na šahovnici).

Za poljuben par pozitivnih celih števil m in n si oglejmo pravokoten trikotnik, katerega oglišča imajo celoštevilske koordinate, kateti z dolžinama m oziroma n pa ležita vzdolž stranic enotskih kvadratov.

Označimo z S_{1} skupno ploščino črnega dela površine in z S_{2} skupno ploščino belega dela površine trikotnika. Naj bo

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Izračunaj f(m, n) za vsa taka pozitivna cela števila, ko sta m in n bodisi obe sodi bodisi obe lihi števili.

(b) Dokaži, da je f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} za vse m in n.

(c) Pokaži: take konstante C, da bi veljalo f(m, n) < C za vse m in n, ni.

2. Naj bo kot pri oglišču A najmanjši kot trikotnika ABC.

Točki B in C razdelita trikotniku očrtano krožnico na dva loka. Naj bo U notranja točka tistega loka med B in C, ki ne vsebuje A.

Simetrali stranic AB in AC sekata premico AU v točkah V oziroma W. Premici BV in CW se sekata v T.

Pokaži:

|AU| = |T B| + |T C|.

3. Naj bodo x_{1}, x_{2}, …, x_{n} realna števila, ki zadoščajo pogojema:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

in

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} za i = 1, 2, …, n.

Pokaži: obstaja taka prerazporeditev (permutacija) y_{1}, y_{2}, …, y_{n} števil x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, da velja

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Vsaka naloga je vredna 7 točk. Čas reševanja: 4\frac{1}{2} ure.