Version: Slovene

Drugi dan

Mar del Plata, Argentina - 25. julij 1997

4. V polja matrike dimenzije n × n (to je kvadratne table z n vrsticami in n stolpci) postavimo elemente iz množice S = {1, 2, …, 2n−1}. Tako matriko imenujemo srebrna, če i-ta vrstica in i-ti stolpec skupaj vsebujeta vse elemente iz S za vsak i = 1, …, n. Pokaži:

(a) za n = 1997 srebrna matrika ne obstaja;

(b) srebrne matrike obstajajo za neskončno mnogo vrednosti n.

5. Poišči vse pare (a, b) celih števil a ≥ 1, b ≥ 1, ki zadoščajo enačbi

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Za vsako pozitivno celo število n naj f(n) pove, na koliko načinov lahko predstavimo število n kot vsoto potenc števila 2 z nenegativnimi celimi eksponenti.

Vsoti, ki se razlikujeta le v vrstnem redu seštevancev, pomenita isto predstavitev. Na primer f(4) = 4, saj lahko število 4 predstavimo na naslednje štiri načine: 4, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.

Dokaži, da velja

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}

za vsak n ≥ 3.

Vsaka naloga je vredna 7 točk. Čas reševanja: 4\frac{1}{2} ure.