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Primer día

Mar del Plata, Argentina - 24 de julio de 1997

1. En el plano, los puntos de coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados se colorean alternadamente de blanco y negro (como los del tablero de ajedrez).

Para cada par de enteros positivos m y n, se considera un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes m y n, están sobre los lados de los cuadrados.

Sean S_{1} el área total de la región negra del triángulo y S_{2} el área total de su región blanca. Sea

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Calcular f(m, n) para todos los enteros positivos m y n que son, o bien ambos pares, o bien ambos impares.

(b) Probar que f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} para todo m y n.

(c) Demostrar que no existe ninguna constante C tal que f(m, n) < C para todo m y n.

2. El ángulo A es el menor de los ángulos del triángulo ABC.

Los puntos B y C dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea U un punto interior del arco BC que no contiene a A.

Las mediatrices de AB y AC cortan a la recta AU en V y W, respectivamente. Las rectas BV y CW se cortan en T.

Demostrar que

AU = T B + T C.

3. Sean x_{1}, x_{2}, …, x_{n} números reales que verifican las condiciones:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

y

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} para i = 1, 2, …, n.

Demostrar que existe una reordenación (o permutación) y_{1}, y_{2}, …, y_{n} de x_{1}, x_{2}, …, x_{n} tal que

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Cada problema vale 7 puntos. Tiempo: 4\frac{1}{2} horas.