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Segundo día

Mar del Plata, Argentina - 25 de julio de 1997

4. Una matriz n × n (es decir, un tablero cuadrado de n filas y n columnas) se rellena con números del conjunto S = {1, 2, …, 2n−1}. Tal tablero se llama matriz de plata si, para cada i = 1, …, n , la i-ésima fila y la i-ésima columna juntas contienen todos los números del conjunto S. Demostrar que:

(a) No existe ninguna matriz de plata para n = 1997;

(b) Existen matrices de plata para infinitos valores de n.

5. Determinar todas las parejas (a, b) de enteros a ≥ 1 y b ≥ 1 que satisfacen la ecuación

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Para cada entero positivo n, sea f(n) el número de formas en que se puede representar a n como suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos.

Las representaciones que difieren únicamente en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo f(4) = 4, porque 4 puede ser representado en las cuatro siguientes formas: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Probar que, para todo entero n ≥ 3,

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Cada problema vale 7 puntos. Tiempo: 4\frac{1}{2} horas.