Version: Swedish

Första dagen

Mar del Plata, Argentina - 24 juli, 1997

1. Punkterna i planet med heltalskoordinater är hörn i ett rutnät med enhetskvadrater, färgade svarta och vita som på ett shackbräde. Betrakta, för varje par av positiva heltal m och n, en rätvinklig triangel med kateter av längd m och n längs rutnätets linjer och där hörnen har heltalskoordinater. Låt S_{1} vara den sammanlagda arean av de svarta delarna av triangeln och S_{2} den sammanlagda arean av de vita delarna. Låt

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|.

(a) Beräkna f(m, n) för alla positiva heltal m och n som antingen båda är jämna eller båda udda.

(b) Visa att f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} för alla m och n.

(c) Visa att det inte finns någon konstant C sådan att f(m, n) < C för alla m och n.

2. I triangeln ABC är vinkeln A den minsta. Punkterna B och C delar den kring triangeln omskrivna cirkeln i två bågar. Låt U vara en inre punkt på den av bågarna mellan B och C som inte innehåller punkten A. Mittpunktsnormalerna till AB och AC skär linjen AU i punkterna V respektive W. Linjerna BV och CW skär varandra i punkten T. Visa att

|AU| = |T B| + |T C|.

3. Låt x_{1}, x_{2}, …, x_{n} vara reella tal som uppfyller villkoren:

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1

och

|x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2} för i = 1, 2, …, n.

Visa att det finns en permutation y_{1}, y_{2}, …, y_{n} av x_{1}, x_{2}, …, x_{n} sådan att

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2} .

Varje problem ger högst 7 poäng. Tid: 4\frac{1}{2} timmar.