Version: Swedish

Andra dagen

Mar del Plata, Argentina - 25 juli, 1997

4. En n × n matris (kvadratiskt schema) med element ur mängden S = {1, 2, …, 2n−1} kallas en de Plata matris om, för varje i = 1, …, n , den i:te raden och den i:te kolumnen tillsammans innehåller alla elementen i S. Visa att

(a) det inte finns någon de Plata matris för n = 1997;

(b) det finns de Plata matriser för oändligt många värden på n.

5. Bestäm alla par (a, b) av heltal a ≥ 1, b ≥ 1, som satisfierar ekvationen

a^{(b^{2})} = b^{a}.

6. Låt, för varje positivt heltal n, f(n) beteckna antalet möjligheter att skriva n som summan av potenser av 2 med icke-negativa heltalsexponenter. Representationer som endast skiljer sig vad beträffar termernas ordning i summan betraktas som identiska. Exempelvis är f(4) = 4, ty talet 4 kan skrivas på följande fyra sätt: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1. Visa att för varje heltal n ≥ 3 gäller

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Varje problem ger högst 7 poäng. Tid: 4\frac{1}{2} timmar.