Version: Turkish

Birinci Gün

Mar del Plata, Arjantin - 24 Temmuz 1997

1. Köşeleri düzlemdeki tam sayı koordinatlı noktalar olan birim karelere bakalım. Bu kareler ( satranç tahtasındaki gibi ) sırayla siyah ve beyaza boyanmış olsun.

Her m, n pozitif tam sayı çifti için, köşeleri tam sayı koordinatlı noktalar olan ve m ve n uzunlug̃undaki dik kenarları yukarıdaki karelerin kenarları üstünde bulunan bir dik üçgen alalım.

S_{1} ile bu üçgendeki siyah bölgelerin toplam alanını; S_{2} ile de aynı üçgendeki beyaz bölgelerin toplam alanını gösterelim.

f(m, n) = |S_{1} − S_{2}|

olsun.

(a) Her ikisi de çift ya da her ikisi de tek olan m ve n pozitif tam sayıları için, f(m, n) deg̃erini hesaplayınız.

(b) Her m ve n için f(m, n) ≤ \frac{1}{2} max\{m, n\} oldug̃unu kanıtlayınız.

(c) f(m, n) < C koşulunu m ve n nin tüm deg̃erleri için sag̃layan bir C sabitinin bulunmadıg̃ını gösteriniz.

2. A açısı ABC üçgenindeki açıların en küçüg̃üdür. B ve C noktaları bu üçgenin çevrel çemberini iki yaya ayırıyor. U, B ve C arasındaki,

A noktasını içermeyen yayın bir iç noktası olsun.

AB ile AC nin orta dikmeleri AU dog̃rusunu sırasıyla V ve W noktalarında kesiyor. BV ile CW dog̃ruları da T noktasında kesişiyor.

AU = T B + T C

oldug̃unu gösteriniz.

3. x_{1}, x_{2}, …, x_{n},

|x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}| = 1 ve i = 1, 2, …, n için |x_{i}| ≤ \frac{n + 1}{2}

koşullarını sag̃layan gerçel sayılar olsun. x_{1}, x_{2}, …, x_{n} nin

|y_{1} + 2y_{2} + ⋯ + ny_{n}| ≤ \frac{n + 1}{2}

koşulu sag̃lanacak biçimde bir y_{1}, y_{2}, …, y_{n} permütasyonunun bulundug̃unu gösteriniz.

Her soru 7 puan deg̃erindedir. Süre 4\frac{1}{2} saattir.