Version: Turkish

İkinci Gün

Mar del Plata, Arjantin - 25 Temmuz 1997

4. Elemanları S = {1, 2, …, 2n−1} kümesine ait bir n × n matrise ( n sütun

ve n satırdan oluşan kare biçimindeki bir tabloya ), eg̃er her i = 1, …, n için , i inci sıra ile i inci sütun birlikte S nin tüm elemanlarını kapsıyorsa, bir gümüş matris diyoruz.

(a) n = 1997 için hiçbir gümüş matrisin bulunmadıg̃ını;

(b) n nin sonsuz sayıda deg̃eri için gümüş matrislerin bulundug̃unu gösteriniz.

5. a ≥ 1, b ≥ 1 olmak üzere,

a^{(b^{2})} = b^{a}

eşitlig̃ini sag̃layan tüm (a, b) tam sayı sıralı ikililerini bulunuz.

6. Her n pozitif tam sayısı için, n nin, 2 nin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinin toplamı olarak yazılış biçimlerinin sayısını f(n) ile gösterelim.

Toplamda geçen terimlerin yalnızca sırasının deg̃işik oldug̃u yazılış biçimlerini aynı sayıyoruz. Örneg̃in 4 sayısı, 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1 olarak dört şekilde yazılabileceg̃inden f(4) = 4 olur.

Her n ≥ 3 tam sayısı için ,

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}

oldug̃unu kanıtlayınız.

Her soru 7 puan deg̃erindedir. Süre 4\frac{1}{2} saattir.