Version: Vietnamese

Ngày thu hai

Mar del Plata, Argentine - 25 thang bay 1997

4. M{ô \atop .}t n × n ma tr{â \atop .}n voi các phân tu thu{ô \atop .}c t{â \atop .}p ho.p S = \{1, 2, …, 2n−1\} duo.c go.i là m{ô \atop .}t ma tr{â \atop .}n “ba.c” nêu voi môi i = 1, …, n , t{â \atop .}p ho.p các phân tu o dòng thu i và o c{ô \atop .}t thu i là t{â \atop .}p ho.p S. Chung to răng:

(a) không tôn ta.i ma tr{â \atop .}n ba.c ung voi n = 1997;

(b) tôn ta.i nhung ma tr{â \atop .}n ba.c ung voi vô sô giá tri. n.

5. Tìm tât ca các c{ă \atop .}p (a, b) nhung sô nguyên a ≥ 1, b ≥ 1 thoa mãn phuong trình

a^{b^{2}} = b^{a}.

6. Voi môi sô nguyên duong n, go.i f(n) là sô tât ca các cách biêu diên n thành tông nhung lũy thua cua 2 voi sô mũ nguyên không âm.

Hai cách biêu diên chi khác nhau boi thu tu. các sô ha.ng duo.c coi là dông nhât. Chăng ha.n, f(4) = 4 boi vì sô 4 có thê biêu diên duo.c dúng theo bôn cách: 4; 2 + 2; 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 + 1.

Chung minh răng voi mo.i sô nguyên n ≥ 3,

2^{n^{2}/4} < f(2^{n}) < 2^{n^{2}/2}.

Môi bài toán duo.c dánh giá 7 diêm. Thoi gian: 4\frac{1}{2} gio.