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Lugar Geométrico 23
Abril 1997

Número 23

Acá estamos de nuevo. Ya empezó la primera competencia de Cabri de este año, y con una gran respuesta, casi 40 clubes están participando. Si no llegaste a tiempo para inscribirte, no te preocupes, que en junio empieza la 8^va competencia, y apara esa, todavía estás a tiempo.

Con el Cabri Tour estuvimos por Fighiera, San Francisco y San Juan. Ahora vamos para Bariloche, Lincoln y Punta Alta, fíjense en la página 2.

En febrero, la olimpíada organizó un Campamento Matemático de Verano. Carlos nos cuenta que tal salió todo. También tenemos una foto de todos los que fueron. Había muchos participantes de Clubes Cabri, por las becas que ganaron el año pasado.

Con respecto a esto, tenemos una novedad muy importante. En esta 7^ma competencia, también daremos becas para participar del campamento de invierno a los ganadores de cada nivel.

Antes de despedirnos, les queríamos contar que ahora la página de la OMA en Internet está totalmente renovada. ¡Denle una mirada!

Dónde encontrarnos

Estas son las formas por las que pueden comunicarse con nosotros. Esperamos los comentarios de ustedes, preguntas y sugerencias.

[Ver Dónde encontrarnos]

Nuevos Clubes Cabri

Cuando empezó el año les pedimos a los clubes viejos que se reinscriban y abrimos la inscripción a los nuevos. La respuesta fue muy buena, y vamos a ver a cuántos clubes llegamos este año (el año pasado llegaron a inscribirse más de 50). Les damos la lista de los clubes en funcionamiento este año, que participaron de la 7^ma competencia.

Cabri Tour 1998

El Cabri Tour empezó bien en 1998. Ya hicimos 3 cursos en este año y tenemos programados varios más.

Los que ya se hicieron son:

• 4 de marzo, curso en San Juan, capital.
  Organiza el club Raíz Cuadrada.

• 28 de marzo, curso en San Francisco, Córdoba.
  Organiza el club Galois.

• 4 de abril, curso en Fighiera (Santa Fe).
  Organiza el club Cateto.

Y muy pronto habrá cursos en Bariloche (por el Club Baricentro), Lincoln (por el Club El Enigma) y Rosario del Tala (por el Club Alfa)

Campamento de Verano

Del 14 al 20 de febrero se realizó el Campamento Matemático de Verano, en la localidad de Mallín, cerca de Cosquín, en la provincia de Córdoba.

Para los que no lo saben, la OMA viene realizando campamentos desde el año 1993. La idea es aprovechar los períodos de vacaciones para conocer amigos haciendo matemáticas. Además, los clubes Cabri que ganaron alguna competencia durante el año tienen facilidades para participar del campamento más próximo.

En este último campamento participaron chicos de todo el país. Había gente de Misiones, Salta, Río Negro, Córdoba, Santa Fe, Buenos Aires y otras provincias. Eran 35 personas en total, además de 6 coordinadores. Los chicos se dividieron en 5 equipos: Pebial-Co, Hikgvyt, Da7, Sculappia y Titanic. Estos equipos tuvieron que sumar puntos en varios juegos, para definir quién sería el ganador del campeonato. Entre los juegos que tuvieron que sortear podemos mencionar: Maratón Matemática, Postas, Marcas, Ma-TEG-Mática, Manualidades, La Montaña Mensajera, La Batalla Campal, El Problema de la Cartelera, Festival de Problemas, La Búsqueda del Tesoro... Finalmente ganó Hikgvyt, así que muchas felicitaciones para ellos.

Aquí está la foto de todo el equipo. Saludos para todos los participantes. El próximo campamento se va a realizar del 19 al 26 de julio, en la localidad de Gobernador Virasoro, cerca de Posadas (Misiones). Ya vas a recibir más información sobre esto, pero andá preparándote.

Guías 1998

Ya empezó el año, así que ya hay que ponerse a trabajar. Los Clubes no pueden perder tiempo. Por eso ya les mandamos las primeras guías de este año. Son dos guías, una elemental para los que recién empiezan y otra con cosas avanzadas, para los que ya tienen experiencia. Ahora estamos preparando las próximas guías. Y acá les damos algunos pedazos, para los que todavía no están en ningún club:

Nivel Inicial

Queremos construir un triángulo equilátero con lápiz, papel, regla y compás. Hay varias opciones: una es hacerlo "a ojo". En ese caso, nada nos asegura que realmente sea equilátero. Si no, se puede hacer midiendo con la regla, más o menos hasta que los tres lados sean iguales.

Pero, una construcción "bien hecha" sería dibujar un segmento, y trazar una circunferencia con centro en cada uno de los extremos y tomando como radio la medida del segmento. Así, donde se cruzan las dos circunferencias, tenemos el tercer punto del triángulo equilátero. ¿Podés descubirir por qué?

Con el Cabri pasa lo mismo, y la manera de darse cuenta si la construcción está bien hecha es moviendo los puntos y fijándose si la figura sigue siendo la que queríamos.

Mientras leas ésta parte, andá haciendo las cosas con el Cabri, así podés ver que es lo que pasa.

Si uno hace el triángulo a ojo, es decir, con el comando triangle, y lo mide o lo acomoda hasta que los lados parezcan iguales, así como lo acomodó, viene cualquiera, mueve los puntos y lo desacomoda. Entonces eso no sirve para trabajar, si

cada vez que lo queremos mover tenemos que estar acomodando todos sus vértices, no llegamos a nada.

En cambio, tratemos de hacer una construcción parecida a la de la regla y el compás: Primero un segmento y después las dos circunferencias. El dibujo te tiene que ir quedando más o menos así

Ahora, ya tenemos dos posibles triángulos equiláteros (uno con el punto de arriba y otro con el de abajo).

Para que el punto quede siempre en la intersección, lo tenés que conseguir usando el comando intersection y marcando las dos circunferencias (primero una y después la otra). Una vez que aparecen los dos puntos, ya podés, ahora sí, marcar el triángulo, y ocultar las construcciones auxiliares(con look of objects).

Intentá mover ahora los puntos, y si seguiste todas las instrucciones, vas a ver que el triángulo se mantiene siempre equilátero.

Nivel Avanzado

Un problemita…

ABCD es un trapecio rectángulo (los ángulos ABC y BCD son rectos). Se trazan dos circunferencias que tienen a los lados AB y CD como diámetros. Estas circunferencias se cortan en los puntos P y Q. La recta que pasa por P y Q corta al lado BC en M. Probar que M es el punto medio de BC.

Bueno, ¿salió? Si no, no importa, después volvemos al problema.

Si uno tiene una circunferencia C y un punto exterior P, y traza dos rectas cualesquiera que pasen por P y que cortan a C en A, B y C, D respectivamente, ocurre que PA . PB = PC . PD, y ése valor (que depende sólo de P y de la circunferencia) se llama potencia de P con respecto a la circunferencia C.

Vamos a demostrarlo:

Como el cuadrilátero ABCD es inscriptible, BAD + DCB = 180° y como BAD + PAD = 180° también Þ PAD = DCB = PCB. De la misma forma, PDA = PBC. Con esto probamos que los triángulos PAD y PCB son semejantes.

Entonces, PA / PD = PC / PB, o lo que es lo mismo, PA . PB = PC . PD. ¡Listo!

Ahora, ¿qué pasa si una de las rectas es tangente a C? Bueno, la cosa es simple. Si E es el punto de tangencia, entonces PE ² = PA . PB = PC . PD. Entonces, la potencia del punto, depende directamente de la longitud de la tangente a la circunferencia.

Cuando el punto P es interior a la circunferencia, el asunto es similar. Al trazar las dos rectas que cortan en A, B y C, D, ocurre que P queda entre A y B y entre C y D. Y entonces PA . PB = PC . PD de nuevo. La demostración es la misma. Pensala…

Ahora estamos más preparados para resolver el problema que te planteamos al principio.

Según las cosas que acabamos de aprender, MC ² = MQ . MP, y además MB ² = MQ . MP también. Entonces debe ser MC ² = MB ², y , por lo tanto, MC = MB, que es lo que queríamos demostrar.

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