5ta Competencia de Clubes Cabri

Ronda Final

1er nivel

1. Dividir un hexágono regular en la menor cantidad posible de triángulos rectángulos. Justificar por qué con menos triángulos rectángulos no se puede.

2. Dadas dos circunferencias C y C’ (que se cortan) y un punto A en C, construir el paralelogramo ABCD con B en C y C, D en C’, de tal manera que la recta AD incluya a un punto de intersección entre C y C’.

3. Dada una circunferencia C y un punto P en el interior del círculo,

  1. Construir un trapecio ABCD inscripto en C tal que BC // DA, AC =  BC + DA y P sea la intersección de sus diagonales.
  2. Probar que el circuncentro del triángulo PAB pertenece a la circunferencia C.

4. Dado un triángulo ABC, se toma un punto P1 sobre BC. Sean P2 en CA (P1P2 // AB), P3 en AB (P2P3 // BC), P4 en BC (P3P4 // CA) y P5 en CA (P4P5 // AB).

Hallar todos los puntos P1 de tal forma que el triángulo P3P5A sea semejante a ABC.

2do Nivel

5.

  1. Dada una circunferencia C y un punto A en el interior del círculo construir todos los rombos ABCD con B, C y D en la circunferencia.
  2. Hallar A para que la suma de los perímetros de los rombos, antes mencionados, sea máxima.

6. Dado un triángulo acutángulo ABC, se traza la circunferencia que pasa por A y es tangente a BC en A’ y AA’ es diametro, que interseca a AB en E y AC en F; se traza la circunferencia que pasa por B y es tangente a CA en B’ y BB’ es diametro, que interseca a BC en G y BA en H y se traza la circunferencia que pasa por C y es tangente a AB en C’ y CC’ es diámetro, que interseca a CA en I y CB en a J. Probar que el triángulo formado por las rectas FG, HI, JE es semejante al ABC.

7. Sea DEFG un cuadrado. Se consideran los triángulos equiláteros ABC con A perteneciente a DE, B perteneciente a EF y C perteneciente a FG.

Hallar el lugar geométrico de M, punto medio de AC, al variar el triángulo equilátero ABC.

8. Construir un cuadrilátero ABCD a partir de G1, G2, G3 y G4 baricentros de los triángulos ABC, BCD,CDA, DAB respectivamente.

 


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