7ma Competencia de Clubes Cabri
Segunda Ronda

16 de mayo de 1998

 

nivel A

1

Dividir un triángulo equilátero en partes de forma tal que con dichas partes se formen 2 hexágonos regulares iguales.

 

2

Construir la siguiente figura donde las tres circunferencias grandes tienen el mismo radio y todas las circunferencias son tangentes entre si.

figura

3

Dado un rectángulo ABCD y un punto E en AB construir con regla y con compás el rombo EFGH donde F, G y H pertenecen a BC, CD y DA. Explicar los pasos de la construcción y justificar porque EFGH construido es un rombo.

 

4

Si en el problema anterior ABCD es un cuadrado, ¿qué figura geométrica es EFGH además de ser rombo? Explicar por qué.

 

nivel B

5

Construir un triángulo ABC dados A, MA (el punto medio de BC) y O (el circuncentro de ABC).

 

6

Dado un hexágono ABCDEF regular, sea P un punto en AB. Se trazan r1 y r2 rectas por P perpendiculares a CD y EF respectivamente. Sea G la intersección entre r1 y BC y H la intersección entre r2 y FA. Probar que AH = GC.

7

Dado un triángulo A1B1C1 cuyo circuncentro es O1, se traza A2B2C2, el triángulo de los puntos medios de A1B1C1 cuyo circuncentro es O2. Análogamente se definen A3B3C3 y O3, A4B4C4 y O4, etc. Demostrar que todos los Oi están alineados.

8

Dado un cuadrado ABCD, sea P un punto en su interior. Se construye el punto E como la intersección (distinta de P) entre las circunferencias de diámetros PA y PC. Se construye el punto F como la intersección (distinta de P) entre las circunferencias de diámetros PB y PD.

  1. Hallar el lugar geométrico de P para que EF sea máximo.
  2. Hallar el lugar geométrico de P si EF mide la mitad del lado del cuadrado.
  3. Hallar el lugar geométrico del punto medio de EF si P es interior al cuadrado.

 

nivel C

9

Dividir un hexágono regular en partes de manera de formar 4 hexágono regulares iguales. ¿Cuál es la menor cantidad de partes?

 

10

Construir un triángulo isósceles ABC (AB = BC) tal que el triángulo formado por AC y las mediatrices de AB, BC tenga igual área que el triángulo ABC.

 

11

Sea ABC un triángulo, se trazan las circunferencias CAB, CBC y CCA de centro A que pasa por B, de centro B que pasa por C y de centro C que pasa por A respectivamente. Sea rAC la recta que pasa por las intersecciones de CAB y CBC. Sea rAB la recta que pasa por las intersecciones de CBC y CCA. Sea rBC la recta que pasa por las intersecciones de CCA y CAB. Demostrar que dichas rectas concurren.

 

12

Dado un cuadrado ABCD, sean MAB, MBC, MCD y MDA los puntos medios de AB, BC, CD y DA respectivamente. Probar que las rectas AMBC y AMCD dividen al segmento MABMDA en tres segmentos iguales.

 


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