Clase 5 - Polinomios I

 

En esta clase utilizaremos las ideas de factorización que aprendimos en las clases anteriores, y otras nuevas, para tratar el tema de polinomios.

Al final de esta clase hay una encuesta para ver que tal les parecieron los temas que tratamos, si los problemas fueron o no difíciles, etc. Por favor complétenla, porque las clases son para ustedes y si no tenemos respuesta del otro lado no podremos ir mejorándolas. No se olviden!!!

Un polinomio es una expresión como la siguiente:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

Los ai son los coeficientes; nosotros nos manejaremos con coeficientes enteros, racionales o reales (también existen polinomios con coeficientes complejos). Al coeficiente an lo llamaremos coeficiente principal y a a0 lo llamaremos término independiente.

El grado de un polinomio es el mayor n que aparece como exponente. Por ejemplo, el grado de P(x) = 2x8 + x5 - 4,6 x + 2/3 es ocho. En este caso los coeficientes son a8 = 2, a5 = 1, a1 = - 4,6, a0 = 2/3 y los demás valen cero (no es que no estén), es decir, a7 = a6 = a4 = a3 = a2 = 0. Aquí el coeficiente principal es 2 y el término independiente es 2/3.

Las operaciones de suma y producto de dos polinomios son exactamente iguales a como hacíamos con las expresiones algebraicas en clases anteriores. Por ejemplo:

a) Si P(x) = 2x8 + x5 - 4x + 3 y Q(x) = -3x4 + 4x - 4 entonces:

P(x) + Q(x) = 2x8 + x5 - 3x4 - 1

b) Si P(x) = x5 - x3 + 2 y Q(x) = x2 - x entonces:

P(x) . Q(x) = x7 - x6 - x5 + x4 + 2x2 - 2x al hacer distributiva

(Recuerden que xn . xm = xn+m y que xn / xm = xn-m )

El asunto se complica un poco más cuando queremos dividir un polinomio por otro. La idea de la división en muy parecida a la de división de números, y no es de extrañar porque los números en base 10 son polinomios evaluados en 10 y los coeficientes son los dígitos. Por ejemplo, 9204 = P(10) donde P(x) = 9x3 + 2x2 + 4. Volveremos sobre este tema en clases posteriores.

Dividir a un polinomio de coeficientes reales P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 por otro Q(x) = bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0 donde n > m significa expresar a P(x) = Q(x) . C(x) + R(x) donde C(x) será el cociente (el resultado de la división) y R(x) será el resto, que debe tener grado menor que m. Para hacerlo podemos armar un algoritmo (procedimiento) teniendo en cuenta que P(x) = an/bm xn-m Q(x) + R1(x) donde R(x)1 es un polinomio también de coeficientes reales y de grado menor estricto que n.

Si el grado de R1(x) es mayor o igual que m podemos repetir el procedimiento que usamos con P(x) y dividir a R1(x) por Q(x) hasta que obtengamos un Rk(x) de grado menor que m (porque ya no podremos seguir dividiendo).

De esta forma iremos teniendo distintos cocientes (en P(x) es lo marcado en azul) todos multiplicados por Q(x), los cuales formarán a C(x) y también obtendremos un resto R(x) que será el primer Rk(x) de grado menor que m.

Marea un poco el procedimiento, ¿no? Veamos mejor un ejemplo, para clarificar un poco las ideas involucradas. Dividamos a P(x) = 3x7 + x6 - 2x3 + x - 5 por Q(x) = x3 + 2x - 5.

P(x) = 3x4 . Q(x) + (x6 - 6x5 + 15x4 - 2x3 + x - 5) donde lo marcado en rojo es R1(x)
R1(x) = x3 . Q(x) + (- 6x5 + 13x4 + 3x3 + x - 5) donde lo marcado en rojo es R2(x)
R2(x) = -6x2 . Q(x) + (13x4 + 15x3 - 30x2 + x - 5) donde lo marcado en rojo es R3(x)
R3(x) = 13x . Q(x) + (15x3 - 56x2 + 66x - 5) donde lo marcado en rojo es R4(x)
R4(x) = 15 . Q(x) + (- 56x2 - 36x + 70) donde lo marcado en rojo es R(x)

No podemos seguir dividiendo a R(x) por Q(x) porque R(x) tiene menor grado que Q(x). Como P(x) = 3x4 . Q(x) + R1(x)
P(x) = 3x4 . Q(x) + x3 . Q(x) + R2(x) al reemplazar R1(x)
P(x) = 3x4 . Q(x) + x3 . Q(x) + -6x2 . Q(x) + R3(x) al reemplazar R2(x)
P(x) = 3x4 . Q(x) + x3 . Q(x) + -6x2 . Q(x) + 13x . Q(x) + R4(x) al reemplazar R3(x)
P(x) = 3x4 . Q(x) + x3 . Q(x) + -6x2 . Q(x) + 13x . Q(x) + 15 . Q(x) + R(x) al reemplazar R4(x)
P(x) = (3x4 + x3 -6x2 + 13x + 15) Q(x) + R(x) sacando factor común

Entonces quedará C(x) = 3x4 + x3 -6x2 + 13x + 15 donde P(x) = C(x) . Q(x) + R(x), donde R(x) = - 56x2 - 36x + 70. Verifíquenlo ahora haciendo distributiva y sumando el resto.

Para obtener en cada caso Ri(x) lo que hacemos es restarle al polinomio del primer miembro (P(x), R1(x), R2(x), R3(x) y R4(x) según el caso) el producto entre el cociente y Q(x).

Para aquellos que conocen la división larga de polinomios, que es un procedimiento similar a la división de números, les proponemos que intenten probar que el algoritmo que les dimos es equivalente al de la división larga.

El último tema teórico que veremos esta clase es el teorema del resto, que dice lo siguiente:

El resto de la división de P(x) por (x-a) es igual a P(a)

Veamos por qué. Al dividir a P(x) por (x-a) tenemos que P(x) = (x-a) C(x) + R(x) donde C(x) es el cociente y R(x) deberá ser un número constante (que es un polinomio de grado cero) pues tiene que tener grado menor que el de x-a (que es 1). Entonces P(a) = (a-a) C(a) + R(a) = 0 . Q(a) + R(a) = R(a) pero como R(x) es constante (es decir que no depende de x) entonces R(x) = R(a) = P(a) como queríamos probar.

Como corolario de este teorema tenemos que a es raíz de P(x) (quiere decir que P(a) = 0) si y sólo si P(x) se puede expresar como producto entre (x-a) y un polinomio. La razón de esto es que si P(a) = 0 entonces el resto al dividir a P(x) por x-a será igual a P(a) = 0. Por el otro lado, si P(x) = (x-a) C(x) entonces P(a) = (a-a) C(a) = 0.

Veamos ahora algunos problemas para poner en práctica todas las ideas que aprendimos, y quizá algunas nuevas. Les sugerimos que intenten resolver los problemas por ustedes mismos antes de ver las soluciones.

A. Los restos al dividir a P(x) por (x+2), (x-3) y (x+1), son 3, 7 y 13 respectivamente. Calcular el resto de la división de P(x) por (x+2)(x-3)(x+1).

B. Calcular el resto de la división de P(x) = xn - 2xn-1 + 2 por x² - x (con n > 2).

C. Hallar todos los polinomios P(x) tal que P(P(x)) = P(x)² - P(x) + 3.

 

Soluciones

 

A. Expresemos a P(x) como (x+2)(x-3)(x+1) . C(x) + R(x) donde C(x) puede ser eventualmente cero y R(x) un polinomio de grado menor que 3, pues tiene que tener menor grado que el divisor.

Entonces el resto al dividir a P(x) = (x+2)(x-3)(x+1) . C(x) + R(x) por x+2 será igual al resto al dividir a R(x) por x+2 pues el primer término del segundo miembro es divisible por x+2 (con divisible queremos decir que deja resto cero en la división). Entonces por el teorema del resto R(-2) = 3. Del mismo modo probamos que R(3) = 7 y que R(-1) = 13. Además R(x) es un polinomio de grado a lo sumo 2 por lo que conociendo tres valores del mismo podemos averiguar R(x).

Pongamos R(x) = ax² + bx + c (donde a, b y c pueden ser eventualmente cero). Entonces:

R(-2) = 4a - 2b + c = 3
R(3) = 9a + 3b + c = 7
R(-1) = a - b + c = 13

Restando a la segunda igualdad, la primera tenemos que 5a + 5b = 4 o lo que es lo mismo a + b = 4/5.
Restando a la primer igualdad, la tercera, tenemos que 3a - b = -10. Entonces sumando estas dos igualdades que obtuvimos llegamos a que a + b + 3a - b = 4a = -10 + 4/5 por lo que a = -23/10.
Reemplazando: -23/10 + b = 4/5 por lo que b = 31/10. Por último c = 92/5.

Es decir que R(x) = -23/10 x² + 31/10 x + 92/5

 

B. Hay varios métodos para resolver este problema. Nosotros les presentaremos dos de ellos que consisten básicamente en obtener los restos al dividir P(x) por x y por x-1 pues con estos datos podremos obtener el resto al dividir por x(x-1) = x²-x como lo hicimos en el problema A.

El resto al dividir P(x) = xn - 2xn-1 + 2 por x será 2 pues los otros términos son todos divisibles por x (recordar que n > 2). El resto al dividir P(x) por x-1 por el teorema del resto es igual a P(1) = 1n - 2 .1n-1 + 2 = 1.

Otra forma de obtener el resto al dividir P(x) por x-1 es teniendo en cuenta lo siguiente: P(x) = xn - xn-1 - xn-1 + 1 - 1 + 2 = (x-1)xn-1 - (xn-1 - 1) - 1 + 2. Recordarán de la clase anterior que xn-1 - 1 = (x-1)(xn-2 + xn-3 + ... + 1) por lo que P(x) = (x-1)(xn-1 - xn-2 - xn-3 - ... - 1) + 1. Donde el resto es 1. Fíjense que de esta forma no sólo obtuvimos el resto sino que también llegamos a la expresión del cociente.

Ahora que sabemos que P(x) tiene resto 2 en la división por x y resto 1 en la división por x-1 podemos calcular el resto al dividir P(x) por x²-x. En primer lugar sabemos que el resto tiene grado 1; es decir es de la forma ax+b. Como ax+b tiene resto 2 en la división por x entonces b debe ser 2. Como ax+2 tiene resto 1 en la división por x-1 entonces ax+2 = c(x-1) + 1 = cx - c + 1. Entonces a = c y 2 = -c + 1 por lo que c = -1, es decir a = -1.

Por tanto el resto al dividir a P(x) por x²-x es -x+2.

 

C. A primera vista el problema parece más complicado de lo que es porque uno se pregunta: ¿cómo hago para encontrar todos los polinomios que cumplen el enunciado si pueden tener tantos términos como se quiera y no sé nada sobre sus coeficientes?

El tema es que los posibles P(x) no pueden tener tantos términos como se quiera, o lo que es lo mismo el grado de P(x) está acotado (no sobrepasa algún valor).

Si P(x) tiene grado n, ¿qué grado tendrá P(P(x))? Bueno, si P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 entonces P(P(x)) = anP(x)n + an-1P(x)n-1 + ... + a1P(x) + a0. Por tanto, P(x)n tendrá grado n² y los demás términos tendrán un grado menor, es decir, ningún otro término anulará el término de grado n². Entonces el grado de P(P(x)) será exactamente n².

Por el otro lado el grado de P(x)², utilizando la misma idea, será 2n y como -P(x) + 3 tiene grado n entonces P(x)² - P(x) + 3 tendrá grado 2n.

Para que los polinomios de ambos miembros sean iguales deben tener el mismo grado. Es decir que n² = 2n por lo que n = 0 o n = 2. Ahora es mucho más fácil tratar de encontrar P(x).

Si n = 2 entonces debemos hallar a, b y c, donde P(x) = ax² + bx + c. Plantemos la igualdad del enunciado:

P(P(x)) = a(ax² + bx + c)² + b(ax² + bx + c) + c
P(x)² -P(x) + 3 = (ax² + bx + c)² - (ax² + bx + c) + 3

Igualando:

a(ax² + bx + c)² + b(ax² + bx + c) + c = (ax² + bx + c)² - (ax² + bx + c) + 3

En el primer miembro al hacer distributiva vemos que el coeficiente de x4 es a³ mientras que en el segundo miembro es a². Para que se de la igualdad se tiene que cumplir que a³ = a², y como a es distinto de cero (pues n = 2) entonces a = 1. Entonces al reemplazar a por 1:

(x² + bx + c)² + b(x² + bx + c) + c = (x² + bx + c)² - (x² + bx + c) + 3

Al hacer distributiva en el primer miembro vemos que el coeficiente de x² es b² + 2c + b, mientras que en el segundo miembro es b² + 2c - 1. Igualando tenemos que b = - 1.

El término independiente en el primer miembro es c² + bc + c y en el segundo es c² - c + 3. Entonces c² + bc + c = c² - c + 3 o lo que es lo mismo bc + 2c = 3. Reemplazando b por -1 llegamos a que -c + 2c = c = 3. Es decir, el único polinomio de grado 2 es P(x) = x² - x + 3, ¿les sorprende?

El caso de n = 0 es más fácil. P(x) = k entonces P(P(x)) = k y P(x)² - P(x) + 3 = k² - k + 3. Igualando tenemos que k = k² - k + 3. Es decir que k²-2k+3 = 0 o lo que es lo mismo (k-1)²+2 = 0. Esta ecuación no tiene solución en reales pues un cuadrado es siempre positivo o cero por lo que (k-1)²+2 > 2. Con esto completamos la demostración.

Para terminar, les dejamos algunos problemas ...

 

Problemas

 

1. Demostrar que no hay ningún polinomio Q(x) tal que Q(Q(x)) = x Q(x²) + Q(x).

2. Sea P(x) un polinomio de grado 3 con coeficientes reales tales que P(3) = 1 y P(1) = -3. Además se sabe que el coeficientes principal vale 2 y que el término independiente vale 4. Hallar el polinomio.

3. Hallar todas las raíces reales y complejas de P(x) = x³ + x + 2.

4. Al dividir a P(x) por x² - 1 el resto es x+3; y se sabe que P(2) = 1. Hallar el resto al dividir a P(x) por x³ - 2x² - x + 2. ¿Cuánto vale la suma de los coeficientes de P(x)?

5. Sea P(x) un polinomio con coeficientes enteros y k natural, tales que k no divide a P(i) para todo i = 1, 2, ..., k-1, k. Probar que P(x) no posee ninguna raíz entera.


Esta fue la quinta clase de Miscelánea, el curso de matemáticas por Internet. Esperamos que les haya gustado. En quince días, ofreceremos una nueva clase.

Ahora, es el turno de ustedes. Queremos que hagan los problemas y ejercicios que fuimos dando a lo largo de la clase. Cuéntennos lo que consiguieron y pregunten lo que no les salió. Envíen sus preguntas, dudas, sugerencias, experiencias y propuestas. Nuestra dirección es misc@oma.org.ar .

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