Problemática

Nota 1 - 10 / 11 / 1998

Esperamos sus mails en problematica@oma.org.ar

 

Ya está terminando la olimpíada nacional de este año. ¡Les deseamos mucha suerte a todos los que van a participar!

Y ya podemos empezar a entrenar para el año que viene. Así que vamos a abrir este taller con algunos comentarios de los problemas de la intercolegial de este año. (Pueden encontrarlos en http://www.oma.org.ar/enunciados/oma15int.htm )

No vamos a contarles las soluciones, la idea es que ustedes nos las cuenten a nosotros. Pero vamos a dar algunas pistas o algunas cosas que es bueno saber para hacerlos.

Elegimos un problema de cada nivel.

 

XV Olimpíada Nacional - Certamen Intercolegial - Primer nivel - Problema 3
Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, formar un número de seis cifras distintas abcdef tal que el número de tres cifras abc sea múltiplo de 4, el número de tres cifras bcd sea múltiplo de 5, el número de tres cifras cde sea múltiplo de 3 y el número de tres cifras def sea múltiplo de 11.

Lo primero que tenemos que saber son las reglas de divisibilidad por estos números. Es decir, cómo sabemos si un número es divisible por 3 o por 5 o por 11...

Empezamos con divisivilidad por 5, que es la más fácil:

Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

Por ejemplo, 23525 es divisible por 5 y 505050501 no es divisible por 5.

Ahora por 3:

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.

Así escrito parece un círculo sin salida, porque ¿cómo sabemos si la suma de sus cifras es divisible por 3? Hacemos lo mismo: sumamos las cifras del resultado de esa suma. Y seguimos sumando hasta obtener un número de una cifra, que para que sea divisible por 3 tiene que ser 0, 3, 6 o 9.

A ver algunos ejemplos:

Antes de ver divisivilidad por 4, hagamos divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 si la última cifra es par (es decir: 0, 2, 4, 6 u 8).

Por ejemplo, 526 es divisble por 2 y 2463 no es divisible por 2.

Ahora sí, la de divisibilidad por 4.

Un número es divisible por 4 si el número formado por las dos últimas cifras es divisible por 4.

Algunos ejemplos:

 

Y divisibilidad por 11, que es la más difícil, y que muchos no conocen:

Un número es divisible por 11 si la suma de las cifras que ocupan posiciones pares menos la suma de las cifras que ocupan posiciones impares es divisible por 11.

Tal vez tengas que releer varias veces la frase hasta entender lo que dice. Esperamos que con los ejemplos quede más claro:

Ahora te toca a vos juntar todo esto y ver cómo podés hacer el problema.

 

 

XV Olimpíada Nacional - Certamen Intercolegial - Segundo nivel - Problema 2
Sea ABCD un cuadrado de lado 28. Se considera el punto P interior al cuadrado y el punto E en el lado CD tales que PE es perpendicular a CD y AP = BP = PE. Hallar AP.

Lo primero que tendríamos que hacer es un dibujo de la figura.

Por los datos que nos dan, el triángulo APB es isósceles. Entonces P tiene que estar en la mediatriz de AB. Y como PE es perpendicular a CD, PE va a ser perpendicular a AB. Entonces, E también está en la mediatriz de AB. Nos queda que E es el punto medio de DC.

Así que el dibujo es más o menos como está arriba. Ahora no se ve muy difícil. Un poco de Pitágoras y debería salir. ¿Te animás a seguir?

Una pregunta interesante (pero que no importa para resolver el problema) es cómo construir el punto P con regla y compás (o con el Cabri). La clave para eso es notar que el triángulo APE también es isósceles. Entonces P está en la mediatriz de AE.

 

Los problemas de Pablo

Parece que Pablo Picapiedra tiene mucha memoria. Se acuerda de los problemas de hace muchos años. Así que cada vez que algo de lo que charlemos le recuerde a algún problema viejo, nos lo va a contar. Y esto último de lo que hablamos le trajo a la memoria estos problemas, de la regional de la IX Olimpíada Nacional de Matemática.

1. Construir un triángulo isósceles con los siguientes datos:

Perímetro = 18 cm
Altura correspondiente a la base = 5 cm

Indicar los pasos de la construcción.

2. Dibujar un triángulo ABC con los siguientes datos:

ÐA = 30º
AB
= 5 cm
AC + CB = 11 cm

Indicar los pasos de la construcción.

 

 

XV Olimpíada Nacional - Certamen Intercolegial - Tercer nivel - Problema 1
Hallar todos los números enteros n tales que (n + 98) / (n + 19) es un número entero.
ATENCIÓN: Los números enteros son {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Así como está el problema, uno no sabe para donde agarrar porque está la n arriba y abajo.

Si estuviera sólo arriba, por ejemplo, (n + 98) / 19, n + 98 tendría que ser múltiplo de 19 y, aunque son infinitos, podemos expresarlos de alguna forma.

Si estuviera sólo abajo, por ejemplo, 98 / (n + 19), n + 19 tendría que ser un divisor de 98 y para cada divisor de 98 encontramos un n.

Queremos llevarlo a alguna de esas dos formas. ¿Se te ocurre cómo?

 

Un problema parecido a este, pero más difícil, apareció en la primera Olimpíada Internacional de Matemática:

Probar que la fracción (21 n + 4) / (14 n + 3) es irreducible para cualquier número natural n.

 

Acá terminamos por ahora, y esperamos sus mails para seguir avanzando. Teníamos ganas de contar un poco más, pero no queremos "quemarles" los problemas. ¡Será hasta la próxima!

 


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