R A M A   A M A R I L L A   X I I I





                        SISTEMAS LINEALES (III)



CONSIDERACIONES FINALES

        El método de escalonamiento no depende de ninguna hipótesis sobre el

determinante de A (que es un obstáculo en la Regla de Crámer).

        Si el sistema fuera incompatible, se llega a una tercera ecuación de

la forma 0.z = m con m distinto de cero; y, si fuera indeterminado, a la ecua-

ción 0.z = 0.

        Desgraciadamente, suele cometerse el grave error de aplicar la regla

de Cramer en los casos en los cuales el det A = 0. Puesto que, aún cuando (en

casos 3 x 3 ) los cuatro determinantes que deben calcularse sean nulos, es

FALSO concluir que el sistema sea indeterminado ( y aún en los casos en que lo

es, no obtenemos el conjunto de soluciones). Véase el siguiente ejemplo:

        x + 2y + 3z = 1

       2x + 4y + 6z = 2

       3x + 6y + 9z = 4

        Los determinantes que deben calcularse para aplicar la regla de Cramer

son todos nulos y, sin embargo, el sistema es claramente incompatible.

        En efecto, si existiera solución (x,y,z)

                                        x + 2y + 3z = 1

multiplicando por 3 se obtiene         3x + 6y + 9z = 3

comparando con la tercera ecuación     3x + 6y + 9z = 4   se llega al ABSURDO

3 = 4.                                                  

                        PROPUESTA DE EJERCITACION       

Resolver los sistemas:

        2x + 4y - 2z =  2

i)       x +  y - 3z = -4

         x + 3y      =  4



        2x +  y -  z = 3

ii)      x + 2y      = 4

        2x +  y +  z = 3

 

       -3x +  y       = -4

iii)        -2y +  z  =  3

       -3x -  y +  z  = -1

 

        2x +  y - 2z  = 1

iv)    -2x + 4y -  z  = 1

        2x - 4y +  z  = 1

  

v) En un álbum de fotos vemos 2 fotografías de un niño, su padre y su abuelo.

La primera fue tomada hace 3 años y la segunda el año pasado. La edad que te-

nía el abuelo en la primera fotografía duplicaba a la del padre. La edad que

tenía el padre cuando se tomó la segunda fotografía era el triple de la edad

del niño. Si hoy las 3 edades suman 111, ¿qué edad tiene cada uno de ellos?

 

        A modo de ejemplo, resolvamos i). Para obtener el sistema escalonado

debemos operar con los coeficientes, podemos escribirlos "solos":

 

        2       4      -2     |  2

        1       1      -3     | -4

        1       3       0     |  4

  

        Multiplicando por 2 la 2º y la 3º y restándolas de la 1º ecuación ob-

tenemos, reemplazando en 2º y 3º

  

        2       4      -2     |  2

        0       2       4     | 10

        0      -2      -2     | -6

 

        Finalmente sumamos la 2º con la 3º para reemplazar en la 3º:

  

        2       4      -2     |  2

        0       2       4     | 10

        0       0       2     |  4

 

        Queda el sistema escalonado

                2x + 4y - 2z =  2

                     2y + 4z = 10

                          2z =  4

        cuya solución es (1,1,2).

 

 

 

 

 

 

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