R A M A   A Z U L   X V I I





                            LOS INVARIANTES



       Presentamos una estrategia que permite resolver ciertos problemas.

       Prestemos atención a algunas propiedades que enseñamos a nuestros alum-

nos:

                El orden de los factores no altera el producto.

                Si multiplicamos ambos miembros de una desigual-

                dad por un número positivo, la desigualdad no

                cambia.

        En ambos casos, después de cierta operación, hay "algo" que no se al-

tera (o no cambia). Decimos que ese "algo" es INVARIANTE por dicha operación,

o bien que dicha operación deja invariante ese algo. En este lenguaje, el pri-

mer enunciado se lee:

                el producto es invariante por permutación de los

                factores.

        La búsqueda de invariantes no suele ser tarea fácil. Además, muchas

veces sucede que guarda una relación insospechada con el problema a resolver.



Ejemplo: Consideremos un tablero de 2x2 con tres fichas numeradas con 1, 2 y

3. Dada una posición en el tablero de estas tres fichas se puede obtener una

nueva posición moviendo una de las dos fichas adyacentes al casillero desocu-

pado para este mismo casillero. ¿Es posible obtener la configuración

        _______                              _______

       | 1 | 2 |                            | 3 | 2 |

       |---|---|        a partir de         |---|---| ?

       | 3 |   |                            | 1 |   |

        -------                              -------

SOLUCION:

         Los movimientos permitidos mantienen el orden cíclico (este es el

invariante). Así de

 _______

| 3 | 2 |  se pueden obtener las configuraciones (3 2 1), (1 3 2) y (2 1 3)

|---|---|  con un casillero vacío en el tablero. Pero no se puede obtener la

| 1 |   |  configuración (1 2 3) pues tiene otro orden cíclico.

 -------

         En consecuencia NO es posible.





PROBLEMAS

                        1) EL DETERMINANTE

        Consideremos un tablero (o matriz) de 2x2 donde en cada casillero se

coloca un número. Es decir

                          _______

                         | a | b |

                         |---|---|

                         | c | d |

                          -------

        En cada caso se permite efectuar una de las siguientes operaciones:

- sumar a una fila un múltiplo cualquiera de la otra;

- sumar a una columna un múltiplo cualquiera de la otra.

        Si el tablero tiene la siguiente disposición de números:

                          _______

                         | 3 |-3 |

                         |---|---|

                         | 2 | 2 |

                          -------

¿Es posible por medio de operaciones permitidas lograr que en el tablero haya

una fila de ceros?

Ayuda: Recuerde el determinante de una matriz.





2) Se tiene el conjunto de los 100 números 1, 1/2, 1/3, ..., 1/100.

Se eliminan dos elementos cualesquiera a y b de este conjunto y se incluye en

el conjunto (a + b + a.b) quedando así un conjunto con un elemento menos. Des-

pués de 99 de estas operaciones, queda sólo un número. ¿Qué valores puede to-

mar ese número?

Ayuda: El resultado no depende del orden en que se realizan las operaciones.



3) Se tiene un tablero de 3x3. Se asigna inicialmente un número entero no ne-

gativo a cada una de las casillas. En el tablero se permite efectuar la si-

guiente operación: en cualquier par de casillas con un lado común se pueden

modificar los dos números sumándoles un mismo número entero (que puede ser ne-

gativo), siempre que ambos resultados sean no negativos.

¿Qué condiciones se deben satisfacer inicialmente en la asignación de los nú-

meros, para dejar, mediante aplicaciones reiteradas de la operación, cero en

todas las casillas?

Ayuda: Pintar las casillas del tablero como en el juego de ajedrez de "blan-

cas" y "negras". Encontrar el invariante por la operación descripta. Tal vez

ayuda hacerlo en un tablero más chico.

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