R A M A   V E R D E   X I I



MAS EJERCICIOS



5. Construir las tablas de multiplicación y de suma del conjunto

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} módulo 7.

                               n

6. Hallar el resto de dividir 5  por 3 cuando

   (a) n es par

   (b) n es impar.

                                                841    508     617

7. ¿Cuál es el dígito de las unidades de      13   + 17   + 24     ?



8. Construir las tablas de multiplicación y de suma del conjunto

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} módulo 8.

                                           2    3    4

9. a) Hallar los restos módulo 3 de  10, 10 , 10 , 10 , ...

 

   b) Si N es un número natural, podemos escribirlo como

                          2         3               n

   N = a(0) + 10 a(1) + 10 a(2) + 10 a(3) + ... + 10 a(n).

   Mostrar que N ð 0 (mod 3) es equivalente a

   a(0) + a(1) + a(2) + ... + a(n) ð 0 (mod 3).

   c) Hallar un criterio de divisibilidad por 9.

   d) Mostrar que N ð 0 (mod 11) es equivalente a

                                             n

      a(0) - a(1) + a(2) - a(3)  +  ... +(-1) a(n) ð 0 (mod 11)

      y hallar una condición para la divisibilidad por 11.

 

                                      32

10. a) Hallar el resto módulo 641 de 2  .

                                      32

    b) Hallar el resto módulo 641 de 2  + 1 .

 

    c) El famoso matemático Fermat conjeturó que todos los números de la for-

        2ü

    ma 2  + 1 eran primos. Explicar por qué los cálculos del inciso (b) mues-

 

    tran que la conjetura era errónea.



11. El "Pequeño Teorema de Fermat" dice

                         p

Si p es primo entonces  a  ð a (mod p) para todo entero a. Verificar este teo-

rema para

a) a=2, p=3             b) a=11, p=2            c) a=5, p=7.



12. El número 341 es compuesto (341 = 11 . 31).

                                   340

    a) Hallar el resto de dividir 2    por 341.

    b) Reflexionar sobre lo obtenido en a) en relación con el Pequeño Teorema

       de Fermat.

                                        10

13. a) Determinar el resto de dividir 10   por 7.

 

                                                2      3            10

                                        10    10     10           10

    b) Determinar el resto de dividir 10  + 10   + 10   + ... + 10      por 7.



14. Considerar la sucesión a(1), a(2), a(3), ...

donde a(1) = 1, a(2) = 3, a(n) = a(n-1) a(n-2) para n > 2.

Hallar el resto de dividir a(514) por 11.



DESAFIO

¿Cuáles son los 2 últimos dígitos de

    1995

a) 3

    1995

b) 7

    1995   1995      1995   1995

c) 3    + 7       y 7    - 3     ?

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